Bas (linjär algebra)

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2023-09) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

En mängd ${\displaystyle \{v_{i}\}_{i=0}^{n-1}}$ sägs vara en bas för ett linjärt rum (eller vektorrum) V om den är linjärt oberoende och spänner upp V, det vill säga varje element i V är en linjärkombination av element ur basen. Det går att byta mellan baser genom basbyten.

En basvektor v i ett vektorrum V med dimensionen d, är en vektor i den mängd av d stycken vektorer som bildar en bas för rummet. Basvektorerna är linjärt oberoende.

Baser av stor betydelse är de som är ortogonala eller ortonormerade.

Exemplen utgår från vektorerna (1,1) och (-1,2) som skall visas vara en bas för R² samt att de är linjärt oberoende och spänner upp hela R².

Då vektorerna är nollskilda och ej multipler av varandra, är de linjärt oberoende och därmed också en bas för R² eftersom båda har dimensionen 2.

Detta är en konsekvens av dimensionssatsen.

Bilda en matris med vektorerna som kolumner och beräkna matrisens determinant:

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}1&-1\\1&2\end{bmatrix}}=3}$

Då determinanten är nollskild bildar kolumnvektorerna en bas för R².

1. Visa att vektorerna är linjärt oberoende

Vektorerna är linjärt beroende om det finns nollskilda skalärer a och b, som uppfyller ekvationen

${\displaystyle a(1,1)+b(-1,2)=(0,0)}$.

Visa alltså att ${\displaystyle a(1,1)+b(-1,2)=(0,0)}$ medför att ${\displaystyle a=0,b=0}$.

${\displaystyle (a-b,a+2b)=(0,0)\,}$

  ger  

${\displaystyle a-b=0\;}$

  och  

${\displaystyle a+2b=0}$

Subtraheras den första ekvationen från den andra erhålls

${\displaystyle 3b=0\quad \iff \quad b=0}$

och sedan från den första ekvationen att

${\displaystyle a=0}$

Alltså är vektorerna är linjärt oberoende.

2. Hela R² spänns upp

Vi låter (a, b) beteckna en godtycklig vektor i R² och visar att det finns skalärer x och y sådana att

${\displaystyle x(1,1)+y(-1,2)=(a,b)}$

Vi måste alltså lösa ekvationssystemet:

${\displaystyle x-y=a\,}$

${\displaystyle x+2y=b}$

Dras den första ekvationen från den andra fås

${\displaystyle 3y=b-a,\,}$

          och sedan

${\displaystyle y=(b-a)/3,\,}$

        och slutligen

${\displaystyle x=y+a=((b-a)/3)+a.\,}$

En Hamelbas används i samband med oändligdimensionella vektorrum och då framförallt för att särskilja olika basbegrepp för oändligtdimensionella vektorrum, däribland ortonormerade baser och Schauderbaser. Dessa basbegrepp tillåter oändligt många vektorer i linjärkombinationer, vilket inte Hamelbaser gör.

Låt ${\displaystyle X}$ vara ett vektorrum och ${\displaystyle A\subseteq X}$ en linjärt oberoende delmängd. Denna delmängd säges vara en Hamelbas för ${\displaystyle X}$ om dess linjära spann utgör mängden ${\displaystyle X}$, det vill säga om

${\displaystyle \operatorname {span} (A)=X.}$

Med hjälp av Zorns lemma kan man visa att varje vektorrum ${\displaystyle X\neq \{0\}}$ har en Hamelbas.

• Wikimedia Commons har media som rör Bas (linjär algebra).
  Bilder & media

Linjär algebra Grundläggande begrepp Skalär · Vektor · Noll · Ortogonalitet · Ekvationssystem · Rum · Linjärkombination · Inre produkt · Oberoende · Bas · Radrum · Kolonnrum · Nollrum · Gram-Schimdt · Egenvärde · Hölje · Linjäritet Vektoralgebra Kryssprodukt · Trippelprodukt Matriser Elementär · Block · Enhet · Determinant · Norm · Rang · Transformation · Rotation · Invers · Cramers regel · Trappstegsform · Spår · Transponat · Gausselimination · Symmetri · Addition Multilinjär algebra Geometrisk algebra · Yttre algebra · Bivektor · Multivektor · Tensor Konstruktioner Delrum · Dualrum · Funktionsrum · Kvotrum · Tensorprodukt Numerik Flyttal · Gles matris Kategori