Baselproblemet

Baselproblemet formulerades 1644 av Pietro Mengoli och löstes av Leonhard Euler 1734 (lösningen presenterades 1735 inför Rysslands Vetenskapsakademi^[1]). Bernhard Riemann, som var väl insatt i Eulers arbeten, generaliserade mer än hundra år senare detta resultat till vad som idag kallas Riemanns zetafunktion.

Problemet är att finna vad serien

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$

konvergerar mot.

Eulers lösning

För att visa detta samband utgick Euler från maclaurinutvecklingen av sinus:

${\displaystyle \sin z=z-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-{\frac {z^{7}}{7!}}+\cdots }$

För ekvationen ${\displaystyle \sin z=0}$ blir en rot ${\displaystyle z=0}$, och för övriga gäller enligt ovan:

Med variabelbytet ${\displaystyle w=z^{2}}$ får vi följande ekvation:

De nollskilda lösningarna till ${\displaystyle \sin z=0}$ är ${\displaystyle z=\pm \pi ,\pm 2\pi ,\pm 3\pi ,\ldots }$ vilket ger ${\displaystyle w_{1}=\pi ^{2},w_{2}=(2\pi )^{2},w_{3}=(3\pi )^{2},\ldots }$ som lösningar till ekvationen ovan.

Detta kombinerade Euler nu med sambandet att om ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ är rötter till ekvationen ${\displaystyle x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n}=0}$ gäller:

${\displaystyle {\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}=-{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}}$

Tillsammans med ekvation 2 får vi då (${\displaystyle a_{n-1}=-{\frac {1}{6}}}$ och ${\displaystyle a_{n}=1}$):

Genom att multiplicera detta med ${\displaystyle \pi ^{2}}$ följer att

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

Referenser

• Boris Sjöberg. Från Euklides till Hilbert. Åbo Akademis förlag, 2001. ISBN 952-9616-44-9.