Bas (linjär algebra)

En vektor representerad i två olika baser

En mängd sägs vara en bas för ett linjärt rum (eller vektorrum) V om den är linjärt oberoende och spänner upp V, det vill säga varje element i V är en linjärkombination av element ur basen. Det går att byta mellan baser genom basbyten.

En basvektor v i ett vektorrum V med dimensionen d, är en vektor i den mängd av d stycken vektorer som bildar en bas för rummet. Basvektorerna är linjärt oberoende.

Baser av stor betydelse är de som är ortogonala eller ortonormerade.

Att visa att vektorer utgör en bas

Exemplen utgår från vektorerna (1,1) och (-1,2) som skall visas vara en bas för R2 samt att de är linjärt oberoende och spänner upp hela R2.

Med hjälp av dimensionssatsen

Då vektorerna är nollskilda och ej multipler av varandra, är de linjärt oberoende och därmed också en bas för R2 eftersom båda har dimensionen 2.

Detta är en konsekvens av dimensionssatsen.

Med determinant

Bilda en matris med vektorerna som kolumner och beräkna matrisens determinant:

Då determinanten är nollskild bildar kolumnvektorerna en bas för R2.

Utifrån basens definition

1. Visa att vektorerna är linjärt oberoende

Vektorerna är linjärt beroende om det finns nollskilda skalärer a och b, som uppfyller ekvationen

.

Visa alltså att medför att .

  ger  
  och  

Subtraheras den första ekvationen från den andra erhålls

och sedan från den första ekvationen att

Alltså är vektorerna är linjärt oberoende.

2. Hela R2 spänns upp

Vi låter (a, b) beteckna en godtycklig vektor i R2 och visar att det finns skalärer x och y sådana att

Vi måste alltså lösa ekvationssystemet:

Dras den första ekvationen från den andra fås

          och sedan
        och slutligen

Hamelbas

En Hamelbas används i samband med oändligdimensionella vektorrum och då framförallt för att särskilja olika basbegrepp för oändligtdimensionella vektorrum, däribland ortonormerade baser och Schauderbaser. Dessa basbegrepp tillåter oändligt många vektorer i linjärkombinationer, vilket inte Hamelbaser gör.

Låt vara ett vektorrum och en linjärt oberoende delmängd. Denna delmängd säges vara en Hamelbas för om dess linjära spann utgör mängden , det vill säga om

Med hjälp av Zorns lemma kan man visa att varje vektorrum har en Hamelbas.

Externa länkar

Media som används på denna webbplats

Question book-4.svg
Författare/Upphovsman: Tkgd2007, Licens: CC BY-SA 3.0
A new incarnation of Image:Question_book-3.svg, which was uploaded by user AzaToth. This file is available on the English version of Wikipedia under the filename en:Image:Question book-new.svg
Bases.png
Författare/Upphovsman: Svjo, Licens: CC BY-SA 4.0
Two bases for a vector
Linear subspaces with shading.svg
Författare/Upphovsman: Alksentrs at en.wikipedia, Licens: CC BY-SA 3.0
R3, cut by 3 planes. A particular vector subspace is highlighted in blue.