Barnes G-funktion är en speciell funktion som definieras som
där γ är Eulers konstant. Funktionen är uppkallad efter Ernest William Barnes.
Funktionalekvationer
Barnes G-funktion satisfierar funktionalekvationerna
och
Multiplikationsformel
Barnes G-funktion satisfierar multiplikationsformeln
där ges av
Taylorserie
För gäller Taylorserien
där är Riemanns zetafunktion.
Speciella värden
där G är Catalans konstant och A är Glaisher–Kinkelins konstant.
Asymptotisk expansion
Logaritmen för Barnes G-funktion har följande asymptotiska expansion:
Relation till gammafunktionens integral
Integralen av gammafunktionens logaritm kan ges med hjälp av Barnes G-funktion:
Formeln kan bevisas genom att först ta logaritmen av gammafunktionens och G-funktionens produktrepresentationer:
och med lite förenkling får man
Slutligen tar man logaritmen av gammafunktionens produktrepresentation och integrerar över :
Eftersom de två uttrycken är identiska är
Speciella funktioner |
---|
| Gamma- och relaterade funktioner | | | Zeta- och L-funktioner | | | Besselfunktioner och relaterade funktioner | | | Elliptiska funktioner och thetafunktioner | | | Hypergeometriska funktioner | | | Ortogonala polynom | | | Andra funktioner | |
|