Barban–Davenport–Halberstams sats

Inom matematiken är Barban–Davenport–Halberstams sats ett resultat om primtalens fördelning i aritmetiska följder. Satsen säger följande:

Låt a vara ett heltal relativt primt till k och

${\displaystyle \vartheta (x;q,a)=\sum _{p\leq x\,;\,p\equiv a{\bmod {q}}}\log p\ }$

vara analogin av Tjebysjovs funktion för aritmetiska följden a mod q. Då är

${\displaystyle \vartheta (x;q,a)={\frac {x}{\varphi (q)}}+E(x;q,a)\ }$

där φ är Eulers fi-funktion och feltermen E är liten jämfört med x. Vi definierar summan av kvadraterna av felteremrna:

${\displaystyle V(x,Q)=\sum _{q\leq Q}\sum _{a{\bmod {q}}}|E(x;q,a)|^{2}\ .}$

Då gäller

${\displaystyle V(x,Q)=O(Qx\log x)+O(x^{2}(\log x)^{-A})\ }$

för ${\displaystyle 1\leq Q\leq x}$ och varje positivt A.

Denna form av satsen bevisades av Gallagher. Resultatet av Barban gäller enbart för ${\displaystyle Q\leq x(\log x)^{-B}}$ för något B som beror på A, och resultatet av Davenport–Halberstam för B = A + 5.

Se även

• Bombieri–Vinogradovs sats
• Elliott–Halberstams förmodan

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Barban–Davenport–Halberstam theorem, 1 april 2014.

Källor

• Hooley, C. (2002). ”On theorems of Barban-Davenport-Halberstam type”. i Bennett, M. A.; Berndt, B. C.; Boston, N. m.fl.. Surveys in number theory: Papers from the millennial conference on number theory. Natick, MA: A K Peters. Sid. 75–108. ISBN 1-56881-162-4.