Algebra över en kropp
Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2021-04) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan. |
En algebra över en kropp är inom matematik en algebraisk struktur, mer specifikt ett vektorrum med en operation som liknar multiplikation.
Definition
En algebra över en kropp är ett vektorrum där det för varje par av element finns en unik produkt med egenskaperna:
för och .
sägs vara en associativ algebra om
och en kommutativ algebra eller abelsk algebra om
- .
kallas för algebra med neutralt element om det finns ett så att
- .
Om har ett neutralt element är det unikt. För om man antar att det finns två neutrala element, och , får man att
- eftersom är ett neutralt element.
- eftersom är ett neutralt element.
Alltså är .
Normerad algebra
En associativ algebra kallas för en normerad algebra om den är ett normerat rum som uppfyller
- för alla
- om har ett neutralt element .
En normerad algebra kallas för Banachalgebra, uppkallad efter Stefan Banach, om den är fullständig betraktad som ett normerat rum.
Exempel
Tredimensionellt euklidiskt rum
Inre produktrummet med kryssprodukten införd är en algebra över kroppen av reella tal.
Matrisrum
Rummet av alla komplexa (eller reella) kvadratiska matriser med rader är en icke-kommutativ associativ algebra med enhetsmatrisen som neutralt element. Genom att införa en matrisnorm blir algebran en Banachalgebra.
Funktionsrum
Rummet av alla kontinuerliga funktioner på intervallet är en Banachalgebra med operationen
- för alla
har det neutrala elementet 1 och normen
- .
Externa länkar
Media som används på denna webbplats
Författare/Upphovsman: Tkgd2007, Licens: CC BY-SA 3.0
A new incarnation of Image:Question_book-3.svg, which was uploaded by user AzaToth. This file is available on the English version of Wikipedia under the filename en:Image:Question book-new.svg