Banach-Steinhaus sats

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2022-09) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Inom den gren av matematiken som kallas funktionalanalys är Banach-Steinhaus sats eller satsen om likformig begränsning som den också kallas ett ofta använt resultat.

Banach-Steinhaus sats

• Låt ${\displaystyle X}$ och ${\displaystyle Y}$ vara två normerade vektorrum och ${\displaystyle \{T_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$ en familj av begränsade linjära operatorer ${\displaystyle T_{\alpha }:X\longrightarrow Y.}$ Denna familj besitter följande två egenskaper:
  • Operatornormerna ${\displaystyle \{\Vert T_{\alpha }\Vert \}_{\alpha \in A}}$ är begränsade om vektornormerna ${\displaystyle \{\Vert T_{\alpha }(x)\Vert \}_{\alpha \in A}}$ är begränsade, för varje punkt ${\displaystyle x}$ i en icke-mager delmängd av rummet ${\displaystyle X}$.
  • Operatornormerna ${\displaystyle \{\Vert T_{\alpha }\Vert \}_{\alpha \in A}}$ är begränsade om vektornormerna ${\displaystyle \{\Vert T_{\alpha }(x)\Vert \}_{\alpha \in A}}$ är begränsade, för varje punkt ${\displaystyle x}$ i Banachrummet ${\displaystyle X}$.

Användning av Banach-Steinhaus sats

En omedelbar konsekvens av Banach-Steinhaus sats är den så kallade Principen om kondensation av singulariteter: Om ${\displaystyle X}$ är ett Banachrum och ${\displaystyle F_{n}}$ är en familj av obegränsade linjära operatorer från X till något annat linjärt rum ${\displaystyle Y}$ så gäller att

${\displaystyle R=\{x\in X:\sup _{T\in F_{n}}\|T(x)\|=\infty ,\;{\mbox{for all}}\;n\}}$ är tät i X.

Ett annat viktigt resultat som kan visas med hjälp av Banach-Steinhaus sats är att de flesta kontinuerliga periodiska funktioner inte konvergerar punktvis till sin Fourierserieutveckling. Mer precist: för varje ${\displaystyle x\in \mathbb {T} }$ gäller att mängden av funktioner i ${\displaystyle C(\mathbb {T} )}$ vars Fourierserie divergerar i x är tät i ${\displaystyle C(\mathbb {T} )}$.

Det är också Banach-Steinhaus sats, tillsammans med det faktum att grafen till Wienerprocessen har ändlig kvadratisk variation, som tvingade fran begreppet stokastisk integral och därmed det nya området stokastisk analys.

Bevis av Banach-Steinhaus sats

Beviset bygger på Baires kategorisats och begreppet mager mängd.