Aritmetisk-geometriskt medelvärde

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2022-09) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Det aritmetisk-geometriska medelvärdet (AGM) är ett medelvärde av två tal som fås genom att ta deras aritmetiska respektive geometriska medelvärden och i oändligheten rekursivt upprepa samma procedur med dessa. Givet två tal x och y, erhålles agm(x, y) utifrån

${\displaystyle a_{1}=x,\,\!}$

${\displaystyle b_{1}=y,\,\!}$

${\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},}$

och

${\displaystyle b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}}.}$

Sekvenserna a och b konvergerar mot ett gemensamt värde, vilket ger det aritmetisk-geometriska medelvärdet,

${\displaystyle \mathrm {agm} (x,y)=\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}}$

Det aritmetisk-geometriska medelvärdet av två tal ligger alltid mellan talens geometriska och aritmetiska medelvärden. Om r > 0 gäller också att

${\displaystyle \mathrm {agm} (rx,ry)=r\,\mathrm {agm} (x,y).\,\!}$

Det aritmetisk-geometriska medelvärdet utnyttjas bland annat av Gauss-Legendres algoritm som är ett mycket effektivt sätt att beräkna π numeriskt. Gauss konstant, G, kan också definieras som reciproken av det aritmetisk-geometriska medelvärdet av 1 och roten ur två,

${\displaystyle G={\frac {1}{\mathrm {agm} (1,{\sqrt {2}})}}.}$