Arakawa–Kanekos zetafunktion

Inom matematiken är Arakawa–Kanekos zetafunktion en generalisering av Riemanns zetafunktion.

Definition

Arakawa–Kanekos zetafunktion ${\displaystyle \xi _{k}(s)}$ definieras som

${\displaystyle \xi _{k}(s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{+\infty }{\frac {t^{s}-1}{e^{t}-1}}\mathrm {Li} _{k}(1-e^{-t})\,dt\ }$

där Li_k är den k-te polylogaritmen

${\displaystyle \mathrm {Li} _{k}(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{k}}}\ .}$

Egenskaper

Integralen konvergerar för ${\displaystyle \Re (s)>0}$ och kan fortsättas analytiskt till hela komplexa planet som en hel funktion.

Specialfallet k = 1 ger ${\displaystyle \xi _{1}(s)=s\zeta (s+1)}$ där ${\displaystyle \zeta }$ är Riemanns zetafunktion.

Värdena vid heltal är relaterade till multipel-zetafunktionen enligt

${\displaystyle \xi _{k}(m)=\zeta _{m}^{*}(k,1,\ldots ,1)}$

där

${\displaystyle \zeta _{n}^{*}(k_{1},\dots ,k_{n-1},k_{n})=\sum _{0<m_{1}<m_{2}<\cdots <m_{n}}{\frac {1}{m_{1}^{k_{1}}\cdots m_{n-1}^{k_{n-1}}m_{n}^{k_{n}}}}\ .}$

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Arakawa–Kaneko zeta function, 18 januari 2015.

Allmänna källor

• Kaneko, Masanobou (1997). ”Poly-Bernoulli numbers”. J. Théor. Nombres Bordx. 9: sid. 221–228. 
• Arakawa, Tsuneo; Kaneko, Masanobu (1999). ”Multiple zeta values, poly-Bernoulli numbers, and related zeta functions”. Nagoya Math. J. 153: sid. 189-209. http://projecteuclid.org/euclid.nmj/1114630825. 
• Coppo, Marc-Antoine; Candelpergher, Bernard (2010). ”The Arakawa–Kaneko zeta function”. Ramanujan J. 22: sid. 153–162.