Ahlfors-regelbundet mått

Ett Ahlfors-regelbundet mått är inom matematik ett mått i ett metriskt rum som beter sig som Lebesguemåttet. Måttet är uppkallat efter den finska matematikern Lars Ahlfors.

Definition

Låt (X,d) vara ett metriskt rum. Ett Radonmått μ i X är s-Ahlfors-regelbundet om det finns positiva s och c så att:

${\displaystyle c^{-1}r^{s}\leq \mu (B_{r}(x))\leq cr^{s}}$ för alla ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ och ${\displaystyle r>0}$

B_r(x) är bollen med mittpunkt x och radie r.

Exempel

Det n-dimensionella Lebesguemåttet är n-Ahlfors-regelbundet eftersom det är ett Radonmått och för alla x ∈ ℝⁿ och r > 0

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}(B_{r}(x))=c(n)r^{n}}$ där ${\displaystyle c(n):={\mathcal {L}}_{n}(B_{1}(0))}$

Geometrisk struktur och Ahlfors-regelbundna rum

Om man kan definiera ett Ahlfors-regelbundet mått i ett metriskt rum, är detta måttstrukturen i det metriska rummet och storleken beter sig på samma sätt som i ℝⁿ.

Till exempel, om det finns ett s-Ahlfors-regelbundet mått i det metriska rummet (X,d) så är

• Hausdorffdimensionen ${\displaystyle \dim _{\mathcal {H}}(X)=s\,}$,

• En mängd i X är kompakt om och endast om den är sluten och begränsad,

• Man kan skala måttet för mindre mängder: ${\displaystyle \mu (B_{2r}(x))\leq c\mu (B_{r}(x))}$,

precis som i ℝⁿ.

Om man kan definiera ett Ahlfors-regelbundet mått i ett metriskt rum X så kallas X ett Ahlfors-regelbundet rum, så till exempel är ℝⁿ Ahlfors-regelbundet.

Referenser

• P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950.