1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯

1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ är inom matematiken den divergenta serien:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!}$

som först behandlades av Euler, som sökte resummationsmetoder för att överlåta ett ändligt värde till serien.^[1] Serien är en summa av fakulteter som alternerande adderas eller subtraheras. Ett enkelt sätt att summera den divergenta serien är att använda Borelsummering:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\int _{0}^{\infty }x^{k}\exp(-x)\,dx}$

Om vi byter ut summering och integration ges:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\int _{0}^{\infty }\left[\sum _{k=0}^{\infty }(-x)^{k}\right]\exp(-x)\,dx}$

Summeringen i hakparenteserna konvergerar och är lika med 1/(1 + x) om x < 1. Om vi byter summeringen med 1/(1 + x) oavsett om det konvergerar, får vi en konvergent integral för summering:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-x)}{1+x}}\,dx=eE_{1}(1)\approx 0.596347362323194074341078499369\ldots }$

där ${\displaystyle E_{1}(z)}$ är exponentialintegralen.

Resultat

Resultaten för de första tio värdena för k visas nedan:

Se även

• 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
• Grandis serie
• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
• 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯
• 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯
• 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯, 3 januari 2014.

• Euler, L. (1760), ”De seriebus divergentibus” (PDF), Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae (5): 205–237, http://www.math.dartmouth.edu/~euler/pages/E247.html 

Serier och följder Heltalsföljder Grundläggande Aritmetisk följd · Geometrisk följd · Harmonisk följd · Kvadrattal · Kubiktal · Fakultet · Tvåpotens · Trepotens · Tiopotens Avancerade Fullständig följd · Fibonaccital · Figurtal · Heptagontal · Hexagontal · Lucastal · Pelltal · Pentagontal · Polygontal · Triangeltal Följders egenskaper Cauchyföljd · Monoton följd · Periodisk följd Seriers egenskaper Konvergenta serier · Divergenta serier · Betingad konvergens · Absolutkonvergens · Likformig konvergens · Alternerande serie · Teleskoperande serie Rättframma serier Konvergerande 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ · 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ · 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ · 1 + 1/2s+ 1/3s + ... (Riemanns zetafunktion) Divergerande 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ · 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ · 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ · 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (Grandis serie) · Oändlig aritmetisk följd · 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ · 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ · 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ (Harmoniska serien) · 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ · 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ⋯ (inversen av primtalen) Typer av serier Taylorserie · Potensserie · Formell potensserie · Laurentserie · Puiseuxserie · Dirichletserie · Trigonometrisk serie · Fourierserie · Genererande serie Hypergeometriska serier Generaliserad hypergeometrisk funktion · Hypergeometrisk funktion av matrisargument · Hypergeometrisk serie · Lauricella-hypergeometrisk serie · Modulär hypergeometrisk serie · Riemanns differentialekvation · Elliptisk hypergeometrisk serie Kategori