1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯

Visuell demonstration av de sex första summanderna.

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ är inom matematiken en oändlig serie som är ett elementärt exempel på en geometrisk serie med absolut konvergens.

Dess summa är:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}={\frac {\frac {1}{2}}{1-{\frac {1}{2}}}}=1.}$

Diskret bevis

Som med alla oändliga serier, den oändliga summan

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots }$

definieras att innebära gränsen av summan av de n första termerna

${\displaystyle s_{n}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}}$

det att n närmar sig oändligheten. Multiplicera s_n med 2 så framgår en använd användbar relation:

${\displaystyle 2s_{n}={\frac {2}{2}}+{\frac {2}{4}}+{\frac {2}{8}}+{\frac {2}{16}}+\cdots +{\frac {2}{2^{n}}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}=1+s_{n}-{\frac {1}{2^{n}}}.}$

Subtrahera s_n från båda sidor,

${\displaystyle s_{n}=1-{\frac {1}{2^{n}}}.}$

när n går mot oändligheten, går s_n mot 1.

Historia

Serien användes som representation av en av Zenons paradoxer.^[1] Delarna av Horusögat var en gång tänkt att representera de sex första summanderna av serien.^[2]

Se även

• 0,999…

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯, 3 januari 2014.

Serier och följder Heltalsföljder Grundläggande Aritmetisk följd · Geometrisk följd · Harmonisk följd · Kvadrattal · Kubiktal · Fakultet · Tvåpotens · Trepotens · Tiopotens Avancerade Fullständig följd · Fibonaccital · Figurtal · Heptagontal · Hexagontal · Lucastal · Pelltal · Pentagontal · Polygontal · Triangeltal Följders egenskaper Cauchyföljd · Monoton följd · Periodisk följd Seriers egenskaper Konvergenta serier · Divergenta serier · Betingad konvergens · Absolutkonvergens · Likformig konvergens · Alternerande serie · Teleskoperande serie Rättframma serier Konvergerande 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ · 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ · 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ · 1 + 1/2s+ 1/3s + ... (Riemanns zetafunktion) Divergerande 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ · 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ · 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ · 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (Grandis serie) · Oändlig aritmetisk följd · 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ · 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ · 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ (Harmoniska serien) · 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ · 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ⋯ (inversen av primtalen) Typer av serier Taylorserie · Potensserie · Formell potensserie · Laurentserie · Puiseuxserie · Dirichletserie · Trigonometrisk serie · Fourierserie · Genererande serie Hypergeometriska serier Generaliserad hypergeometrisk funktion · Hypergeometrisk funktion av matrisargument · Hypergeometrisk serie · Lauricella-hypergeometrisk serie · Modulär hypergeometrisk serie · Riemanns differentialekvation · Elliptisk hypergeometrisk serie Kategori